Комплексна и Риманова геометрия и приложения
Проект № КП-06-Н82/6
Базова организация:
Институт по математика и информатика при Българска Академия на Науките
Ръководител на научния колектив:
Проф. д-р Величка Милушева
Източник на финансиране:
Фонд „Научни изследвания”, Конкурс за финансиране на фундаментални научни изследвания – 2024 г.
Срок на изпълнение:
декември 2024 г. – декември 2027 г.
Колектив:
Проф. д-р Величка Милушева
ИМИ-БАН, ръководител
Чл.-кор. проф. дмн Николай Николов
ИМИ-БАН
Ас. д-р Мария Трибула
Adam Mickiewicz University in Poznan и ИМИ-БАН, учен от чужбина
Гл.-ас. д-р Виктория Бенчева-Петрова
ИМИ-БАН и ВТУ „Св. св. Кирил и Методий“, постдокторант
Проф. дмн Йохан Тодоров Давидов
ИМИ-БАН, асоцииран член, професор емеритус
Проф. д-р Огнян Касабов
ИМИ-БАН, пенсионер
Работна програма:
Работен пакет 1.
Аналитични и геометрични проблеми в многомерния комплексен анализ
Работен пакет 2.
Геометрия на обобщени туистрони пространства
Работен пакет 3.
Проблем на Lund-Regge за повърхнини в 4-мерни псевдо-Евклидови пространства
Очаквани резултати:
- Намиране на оптимална регулярност на границата на област в Cn, за която видимостта на Кобаяши влече псевдоизпъкналост.
- Представяне на ограничени линейни оператори между пространства от холоморфни функции за определени класове области в Cn чрез зародиши на холоморфни функции.
- Установяване на възможните класове на Грей-Хервела на естествени Ермитови структури върху обобщено туисторно пространство.
- Получаване на глобална (безкоординатна) формула за кривината на естествена Риманова метрика върху обобщено туисторно пространство и намиране на условия върху базовото многообразие, при които тази метриката е Айнщайнова.
- Намиране на условия върху две обобщени Риманови мeтрики върху едно многообразие, при които те определят „съвпадащи“, т.е. еквивалентни в подходящ смисъл, обобщени туисторни пространства, разгледани с техните естествени обобщени почти комплексни структури.
- Описване на класа на т.нар. marginally trapped (квази-минимални) повърхнини чрез минимален брой частни диференциални уравнения.
- Въвеждане на специални (еднозначно определени) параметри върху повърхнините в 4-мерното Евклидово пространство, които позволяват редуциране на броя на ЧДУ, определящи повърхнините.
- Въвеждане на специални изотропни параметри за Лоренцовите повърхнини с паралелно нормирано векторно поле на средната кривина в псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика и решаване на проблема на Lund-Regge за този клас повърхнини.
- Конструиране на меридианни повърхнини в 4-мерно пространство на Минковски и изследване на техните основни инварианти.
Получени резултати:
- Доказано е, че слабото неравенство на триъгълника за функцията на Лемперт на област в с -гладка граница е необходимо условие за псевдоизпъкналостта на областта.
- Намерена е точната асимптотика на разстоянието на Кобаяши около строго псевдоизпъкнали гранични точки и около непсевдоизпъкнали гранични точки на ограничени области в с -гладки граници.
- Получени са точни оценки за инвариантни метрики на моделни непсевдоизпъкнали области в .
- Получена е характеризация на множителите на Адамар върху пространството H(Ω), където Ω ⊂ е област на Рунге, чрез аналитични функционали.
- Доказана е теорема за представяне на ограничени линейни оператори между пространства от холоморфни функции върху цилиндрични области.
- Намерени са глобални формули за ковариантните производни на две хоризонтални векторни полета, на две вертикални полета и на хоризонтално и вертикално поле, чрез които са пресметнати ковариантните производни на дефинираните почти Ермитови структури върху обобщено туисторно пространство, както и съответните тензори на Найенхюис.
- Определени са възможните класове на Грей-Хервела за тези Ермитови структури.
- Получени са глобални формули за компоненти на тензора на кривината върху обобщено туисторно пространство (пресмятанията в тази насока продължават и през втория етап).
- Доказано е, че в общия случай за всяка повърхнина в 4-мерното Евклидово пространство локално могат да се въведат канонични параметри, които позволяват редуциране на броя на инвариантните функции, определящи повърхнината с точност до движение. Това решава проблема на Lund-Regge за общия клас повърхнини в 4-мерното Евклидово пространство.
- Доказано е, че всяка marginally trapped повърхнина от общ тип в 4-мерно пространство на Минковски локално допуска канонични параметри, които позволяват решаването на задачата на Lund-Regge за този клас повърхнини.
- Описани са следните основни класове времеподобни меридианни повърхнини от елиптичен или хиперболичен тип: с постоянна Гаусова кривина, с постоянна средна кривина, с паралелно векторно поле на средната кривина, с паралелно нормирано векторно поле на средната кривина.
- Получена е класификация на някои важни геометрични обекти върху обобщени ротационни повърхнини в псевдоевклидовото 4-мерно пространство с неутрална метрика, например: Килингови векторни полета, хомотетични векторни полета, векторни полета без дивергенция, ко-затворени и хармонични 1-форми, хармонични функции.
